|
Введение
|
| 1. |
Программа курса. Обзор литературы по курсу лекций. Исторический обзор.
|
| 2. |
Общие сведения о колебаниях в линейном приближении.
|
| 3. |
Действие периодической внешней силы на линейный осциллятор. Резонанс.
|
| 4. |
Общие сведения о волнах в линейном приближении.
|
| 5. |
Устойчивость и неустойчивость систем.
|
| 6. |
Нелинейные системы нулевого порядка.
|
| 7. |
Нелинейные системы первого порядка. Эволюция популяции рыб при различных режимах рыболовства. Нелинейные аспекты перестройки административной системы управления экономикой к рыночной системе.
|
| 8. |
Нелинейные системы второго порядка. Фазовые траектории и типы особых точек на плоскости. Понятие грубости (структурной устойчивости) системы. Бифуркации на плоскости. Индекс Пуанкаре. Критерий Бендиксона. Качественный анализ RC - генератора. Нелинейный осциллятор. Движение электрона в периодическом поле продольной волны. Нелинейное взаимодействие хищник-жертва. Обобщение понятия "консервативная система".
|
| 9. |
Нелинейные "простые" системы. Стохастическая динамика простых систем. Странный аттрактор.
|
| |
|
Методы решения задач теории нелинейных колебаний
|
| |
| 1. |
Метод усреднения Боголюбова-Крылова. Колебания в RC-генераторе. Мягкий и жесткий режимы возбуждения колебаний.
|
| 2. |
Метод медленно изменяющихся амплитуд Ван-дер Поля.
|
| 3. |
Метод эквивалентной линеаризации. Нелинейный резонанс.
|
| 4. |
Описание внешнего воздействия на квазилинейную автоколебательную систему. Синхронизация на основном тоне. Стационарный режим. Биения при синхронизации на основном тоне. Биения при выходе тз области синхронизации. Синхронизация на обер тоне.
|
| 5. |
Описание колебаний в линейных параметрических системах методами нелинейной теории колебаний.
|
| 6. |
Метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го.
|
| 7. |
Метод Дородницына для описания релаксационных колебаний
|
| 8. |
Метод промежуточных асимптотик для сингулярно возмущенных систем.
|
| 9. |
Метод припасовывания Пуанкаре. Диаграммы Кенигса-Лемерея.
|
| 10. |
Гамильтоновское описание колебаний. Фазовое пространство. Гамильтонова система. Система с одной степенью свободы. (Переменные "действие-угол". Спектр нелинейных колебаний. "Расплывание" фазовой капли. Нелинейный маятник, колебания плазмы. Колебания в прямоугольной яме).
|
| 11. |
Приближенные методы при использовании гамильтонова описания колебаний. Теория возмущений (Ряды по степеням возмущения. Возмущение свободного движения периодической силой. Резонансы и малые знаменатели). Метод усреднения. Адиабатические инварианты.
|
| |
|
Введение в теорию нелинейных волн
|
| |
| 1. |
Кинематическое описание ударной волны-простейшее модельное приближение для ударной волны. Закономерности формирования ударного скачка. Понятие характеристики. Решение граничных задач. Соотношения на разрыве ударной волны. Эволюция непрерывного профиля, правило Уизема.
|
| 2. |
Совместное влияние нелинейности и диссипации. Уравнение Бюргерса. Стационарное решение уравнения Бюргерса. Нестационарное решение уравнения Бюргерса.
|
| 3. |
Совместное влияние нелинейности и дисперсии. Уравнение Кортевега-де Вриза. Стационарые решения (периодические и непериодическое). Свойства солитонов. Относительная роль нелинейности и дисперсии. Уравнение Уизема-модельное уравнение, учитывающее произвольный закон дисперсии и простейший вид нелинейности. "Эффект лошади Хьюстона" в мелких узких каналах.
|
| 4. |
Размерность. П-теорема (Бакенгама) в теории размерности.
|
| 5. |
Подобие и моделирование.
|
| 6. |
Построение точных частных решений нелинейных задач математической физики. Автомодельные решения - промежуточные асимптотики. Задача о сильном тепловой волне при взрыве (эволюция огненного шара). Автомодельность первого и второго рода.
|
| 7. |
Абсолютная и конвективная неустойчивости волн. Критерии пропускания волн. Правила Стеррока.
|
| 8. |
Вариационный метод Уизема. Связь групповой скорости с амплитудой поля в линейном приближении. Метод Уизема для нелинейной теории волн. Приближение нелинейной геометрической оптики и обобщение этого приближения. Волны с отрицательной энергией. Описание слабой нелинейности для квазимонохроматических процессов. Критерии неустойчивости. Эффект расщепления групповой скорости.
|
| |
|
Литература
|
| |
| 1. |
М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн. М. Наука,1984.
|
| 2. |
Дж.Уизем. Линейные и нелинейные волны. М. Мир. 1974.
|
| 3. |
Н.Н.Боголюбов. Ю.А.Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М. Наука.1974.
|
| 4. |
Л.П.Мандельштам. Лекции по теории колебаний. М. Наука. 1972.
|
| 5. |
В.И.Карпман. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М. Наука, 1973.
|
| 6. |
А.п.Ахиезер и др. Электродинамика плазмы. М. Наука, 1974.
|
| 7. |
Г.И.Баренблат. Подобие. Автомодельность, промежуточная асимптотика. Л. Гидрометеоиздат, 1978.
|
| 8. |
Л.И.Седов. Методы подобия и размерности в механике. М. Наука, 1967.
|
| 9. |
П.В.Бриджмен. Анализ размерностей. М. ОНТИ, 1934.
|
| 10. |
Дж.Коул. Методы возмущений в прикладной математике. М. Мир, 1972.
|
| 11. |
Дж.Лайтхилл. Волны в жидкостях. М. Мир, 1981.
|
| 12. |
Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Гидродинамика. М. Наука, 1986.
|
| 13. |
О.В.Руденко, Солуян. Теоретичекие основы нелинейной акустики. М. Наука,1975.
|
| 14. |
П.С.Ланда. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М. Наука. 1980.
|
| 15. |
Б.Б.Кадомцев. Коллективные явления в плазме. М. Наука, 1976.
|
| 16. |
Г.М.Заславский. Р.З.Сагдеев. Введение в нелинейную физику. М. Наука, 1988.
|
| |
|
| Программу составил - профессор
Павлов В.А., май 2000. |